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Sintesi semplificata

5.1

Multipli, divisori e divisibilità

Multipli di un numero naturale

1*

Scegli tre numeri naturali e calcola quattro multipli per ciascuno di essi.

2*

Nella tabella a lato colora di rosso la colonna e la riga che contengono multipli di 3 e di blu la colonna e la riga che contengono multipli di 5.

La tabella contiene tutti i multipli di 3 e di 5? ..............
Perché? .......................

3*

Osserva le seguenti operazioni e poi completa le affermazioni.

5×0=0 5×1=5 5×2=10 5×3=15 5×4=20 5×5=25 5×6=30

• 0 è multiplo di 5 secondo il numero ..........
• 5 è multiplo di 5 secondo il numero ..........
• 10 è multiplo di 5 secondo il numero .........
• 15 è multiplo di 5 secondo il numero .........
• 20 è multiplo di 5 secondo il numero .........
• 25 è multiplo di 5 secondo il numero .........
• 30 è multiplo di 5 secondo il numero .........

4*

Che cosa ottieni se elenchi i multipli di zero? Perché?

5** VERSO LA PROVA INVALSI

Considera il numero 15. Raddoppialo, poi raddoppia il risultato, poi continua a raddoppiare. In questo modo arrivi a trovare tutti i multipli di 15? Scegli la risposta e completa la frase.

• Sì, perché .....
• No, perché .....

(INVALSI 2013-2014, III secondaria di 1° grado)

6*

Collega ogni simbolo con il suo significato e poi con uno dei disegni osservando le ruote dei vari mezzi.

M3	Insieme dei multipli di 4
M4	Insieme dei multipli di 1
M1	Insieme dei multipli di 3
M2	Insieme dei multipli di 2

7** TROVA L’ERRORE

Qui sotto sono riportate alcune scritture che riguardano l’insieme dei multipli di 3. In ognuna c’è un errore: trovalo e correggilo.

• M₃ = {0, 3, 6, 9}
• M³ = {0, 3, 6, 9, 12, 15, …}
• M₃ = {0, 1, 3, 6, 9, 12, 15, …}

8*

Completa le seguenti affermazioni.

• 6 è multiplo di 2 secondo il numero .........
  infatti: 2 × 3 = 6
• 35 è multiplo di 5 secondo il numero .........
  infatti: .........
• 41 è multiplo di 41 secondo il numero .........
  infatti: .........
• 56 è multiplo di 8 secondo il numero .........
  infatti: .........
• 39 è multiplo di 3 secondo il numero .........
  infatti: .........

9*

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, giustifica quelle vere e correggi quelle false.

	V	F	Vero perché.../Correzione
8 è multiplo di 2.
2 è multiplo di 8.
8 è multiplo di 6.
6 è multiplo di 0.
53 è multiplo di 3.
Il risultato di 18 × 4 è multiplo di 4.
Il risultato di 6 × 5 è multiplo di 6 e di 5.
16 è multiplo di 4 e di 16.
7 è multiplo solo di 1.
0 è multiplo di ogni numero.
1 è multiplo di ogni numero.
Il risultato di 53 è multiplo di 5, di 25 e di 125.

10*

Indica in quali delle seguenti coppie il secondo numero è multiplo del primo.

5, 35	48, 24	15, 5	3, 12
9, 2	17, 34	4, 32	15, 100
2, 14	100, 25	180, 9	100, 1000

11*

Sottolinea i multipli di 7.

14	20	35	70	56	91	71	54
0	15	23	21	77	37	49	51
36	44	1	25	58	42	7	39

12*

Sottolinea i multipli di 6.

28	35	36	12	19	90	66	60
18	15	9	25	37	21	100	0
43	42	50	48	30	33	72	24

13*

Sottolinea i multipli di 9.

0	12	90	30	60	27	66	72
15	18	54	81	64	108	51	94
38	36	45	91	99	46	32	63

Scrivi i primi dieci multipli, maggiori di zero, dei seguenti numeri.

14*

3 5 8 10

15*

11 4 1 20

16*

30 40 50 60

17*

12 25 22 100

18*

200 500 1000 10 000

19*

250 350 750 8500

Esegui i seguenti esercizi operando sugli insiemi.

20*

Rappresenta per elencazione:

• l’insieme A dei multipli di 5 minori di 50;
• l’insieme B dei multipli di 7 minori di 49;
• l’insieme C dei multipli di 8 minori di 64.

21*

Rappresenta per elencazione:

• l’insieme A dei multipli di 6 maggiori di 12 e minori di 66;
• l’insieme B dei multipli di 4 maggiori di 4 e minori di 40;
• l’insieme C dei multipli di 9 maggiori di 18 e minori di 54.

22**

Rappresenta per elencazione:

• l’insieme A dei multipli di 5 compresi tra 10 e 70;
• l’insieme B dei multipli di 13 minori o uguali a 78;
• l’insieme D dei multipli di 18 minori di 100.

23**

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false e fornisci un esempio per ognuna di esse.

	V	F	Esempio
I multipli di 10 sono anche multipli di 5.
I multipli di 4 sono anche multipli di 8.
Vi sono multipli di 4 che non sono multipli di 8.
Due numeri non sempre hanno un multiplo comune.

Rispondi ai seguenti quesiti.

24*

La somma di tre multipli di 4 è un multiplo di 4? Fai qualche esempio.

25**

La differenza di due multipli di 7 è un multiplo di 7?

26**

Il prodotto di due multipli di 6 è un multiplo di 6?

27**

Il quoziente di due multipli non nulli di 12 è un multiplo di 12?

28***

Verifica con almeno otto esempi che la differenza tra un numero e la somma delle sue cifre è un multiplo di 9 (esempio: 46 – (4 + 6) = 36).

Divisori di un numero naturale

29*

Dato il grafo, completa le operazioni corrispondenti.

30*

Date le operazioni, completa il grafo corrispondente.

31*

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, e correggi quelle false.

	V	F	Correzione
Ogni numero naturale è divisore di se stesso.
Ogni numero naturale diverso da zero è divisore di se stesso.
Ogni numero naturale diverso da zero è divisore di zero.
Ogni numero naturale è divisore di zero.

32*

Per ogni coppia di parole scegline una e inseriscila al posto giusto nella frase.

• D₁ indica l’insieme dei ......... di ......... ed è un insieme ......... in quanto ha come elemento solo il numero .........
• ......... indica l’insieme dei ......... di 2 e ha come elementi solo i numeri ......... e 2.
• ......... (n ≠ 0) è un insieme ......... ma non ......... perché contiene ......... e .........

33**

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, e correggi quelle false.

	V	F	Correzione
1 è multiplo di ogni numero.
Ogni numero è divisore di se stesso.
15 è il maggiore divisore di 15.
17 è il multiplo maggiore di 17.
1 è divisore di ogni numero.

34*

Usa due frecce per collegare le frasi che hanno lo stesso significato.

35* TROVA L’ERRORE

Qui sotto sono riportati tre schemi che riguardano divisori e multipli. In ognuno però c’è un errore: trovalo e correggilo.

36** VERSO LA PROVA INVALSI

Indica se ciascuna scrittura è vera o falsa (n è un numero naturale diverso da zero).

n è divisibile per n.	V	F
n è divisore di 1.	V	F
n è multiplo di n.	V	F
n è divisibile per 0.	V	F

Scrivi i divisori dei seguenti numeri.

37* ESERCIZIO SVOLTO

8

1 è un divisore di 8?	Sì, infatti 8 : 1 = 8 resto 0
2 è un divisore di 8?	Sì, infatti 8 : 2 = 4 resto 0
3 è un divisore di 8?	No, infatti 8 : 3 = 2 resto 2
4 è un divisore di 8?	Sì, infatti 8 : 4 = 2 resto 0
5 è un divisore di 8?	No, infatti 8 : 5 = 1 resto 3
6 è un divisore di 8?	No, infatti 8 : 6 = 1 resto 2
7 è un divisore di 8?	No, infatti 8 : 7 = 1 resto 1
8 è un divisore di 8?	Sì, infatti 8 : 8 = 1 resto 0
Quindi, D8 = {1, 2, 4, 8}

38*

3 9 11

39*

10 20 30

40*

12 33 40

41*

5 23 22

42**

25 50 100

43**

15 36 48

44**

63 31 70

45**

29 77 52

46**

102 58 93

47**

99 106 82

Inserisci al posto dei puntini i termini “divisore” oppure “multiplo”.

48*

55 è ..... di 11

54 è ..... di 6

55 è ..... di 110

5 è ..... di 55

15 è ..... di 5

49*

54 è ..... di 9

49 è ..... di 7

18 è ..... di 36

12 è ..... di 24

35 è ..... di 7

50*

27 è ..... di 9

13 è ..... di 39

24 è ..... di 12

15 è ..... di 180

1000 è ..... di 100

51*

5 × 8 è ..... di 5

7 × 6 è ..... di 6

5 × 4 è ..... di 4

5 × 5 è ..... di 150

7 è ..... di 9 × 7

52**

2 × 7² è ..... di 2

3⁵ × 2⁴ è ..... di 3⁵

9² × 5 è ..... di 9² × 5³

13 × 11² è ..... di 11

10 è ..... di 10 × 9

53**

4³ è ..... di 4⁴

5² × 3 è ..... di 3

3² è ..... di 9³

2⁴ è ..... di 4⁴

5³ è ..... di 5²

Inserisci al posto dei puntini le frasi “è divisore di” oppure “è divisibile per”.

54*

42 è ..... 84

42 è ..... 420

42 è ..... 2

42 è ..... 21

55*

44 è ..... 22

46 è ..... 92

100 è ..... 10 000

10 è ..... 5

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, e correggi quelle false.

57*

	V	F	Correzione
70 e 50 sono divisibili per 5.
48 e 20 sono multipli di 6.
13 e 26 sono divisori di 26.
0, 2, 4, 8 sono multipli di 2.

58**

	V	F	Correzione
2 × 72 è multiplo di 7.
9 × 2 × 52 è multiplo di 4.
32 × 4 è divisibile per 16.
22 × 52 è divisibile per 10.

59**

	V	F	Correzione
Tutti i divisori di 12 sono anche divisori di 6.
Tutti i divisori di 6 sono anche divisori di 12.
Un numero che non è divisore di 12 non è nemmeno divisore di 6.
Tutti i divisori di un numero pari sono pari.
Due numeri hanno sempre almeno un divisore comune.

60***

La somma di tre numeri consecutivi qualsiasi è sempre divisibile per uno stesso numero. Quale? Verificalo facendo almeno cinque esempi.

61***

Il prodotto di tre numeri consecutivi qualsiasi è sempre divisibile per uno stesso numero. Quale? Verificalo facendo almeno cinque esempi.

63*

Jenny, in occasione della festa del suo compleanno, vuole regalare alle sue 6 amiche dei sacchettini contenenti lo stesso numero di cioccolatini. Per confezionare i sacchettini deve acquistare un pacco di cioccolatini e può scegliere tra pacchi contenenti 100, 85 e 78 cioccolatini. Quale pacco sceglierà per evitare che le avanzino dei cioccolatini? Quanti cioccolatini a testa spetteranno alle amiche?

[78; 13]

65*

La signora Carla ha comperato 1,5 kg di caffè e vuole sistemarlo in barattoli (tutti dello stesso tipo) che contengono ognuno o 300 g o 400 g, riempiendoli completamente.
Quale tipo di barattolo deve utilizzare? Perché?

[300 g]

66**

Nella cucina della mensa scolastica ci sono 6 sacchetti di corn flakes, ognuno del peso di 320 grammi.
Per la merenda si vuole suddividere la quantità totale di corn flakes in porzioni tutte dello stesso peso da dare a tutti i bambini di una stessa classe ma senza che ci siano avanzi.
La classe 1^a A ha 25 bambini, la 1^a B ha 28 bambini e la 1^a C ha 32 bambini.
I bambini di quale classe avranno questo tipo di merenda?

Quanto peserà ogni porzione?

[60 g]

68*

Con il vino contenuto in due damigiane, rispettivamente da 80 litri e 60 litri, si vogliono riempire completamente delle bottiglie, usandone un solo tipo. Si hanno a disposizione bottiglie della capacità di 150 cl, 70 cl, 75 cl e 200 cl.
Quale tipo di bottiglia bisogna utilizzare?
Quante bottiglie si possono riempire?

[70 cl o 200 cl; 200 o 70]

69**

Per comporre un libro sono necessari fascicoli di 16 fogli ciascuno (non frazionabili). Il libro deve avere più di 80 pagine, ma meno di 150.
Qual è il numero massimo di pagine di cui può essere composto il libro? Perché?

[144]

70**

Due classi di 20 e 22 alunni vanno in gita. Gli insegnanti vogliono dividere gli alunni in modo che ciascuna camera d’albergo ne ospiti lo stesso numero. Quanti alunni ci saranno in una stessa camera: 4, 5 o 6? Perché?

[6]

71**

In un collegio ci sono 200 ragazzi; si vogliono comperare delle confezioni di merendine per dare una merendina a ognuno di essi, senza avere avanzi. Le merendine sono confezionate in pacchetti da 12 pezzi, da 6 pezzi e da 8 pezzi. Quale tipo di confezione si deve comperare? Perché?

[8]

72***

All’inaugurazione di un torneo di calcio sono schierati sul campo tutti i giocatori delle squadre partecipanti e quattro arbitri.
Il numero totale delle persone in campo è 140. Sapendo che le squadre sono più di cinque e meno di quindici e che tutte hanno lo stesso numero di giocatori, calcola il numero dei giocatori di ogni squadra.
Giustifica la tua risposta.

[17 giocatori]

1*

Completa ciascuna frase collegando la parte nella colonna a sinistra a quella nella colonna a destra.

Il numero 144 è multiplo di...	... 72
Il numero 72 è divisore di...	... 12, 4 e 36
Il numero 60 è divisibile per...	... 3, 4 e 5

2*

Completa ciascuna frase collegando la parte nella colonna a sinistra a quella nella colonna a destra.

Il numero 41 è...	... uguale a 3 × 17
Il numero 51 è...	... un numero primo
La fattorizzazione del numero 41 è...	... il numero stesso
La fattorizzazione del numero 51 è...	... un numero composto

3*

Completa le seguenti affermazioni.

• 15 è multiplo di 5 secondo ...................
• 27 è multiplo di 3 secondo ...................
• 49 è multiplo di 7 secondo ...................
• 54 è multiplo di 9 secondo ...................
• 60 è multiplo di 2 secondo ...................
• 68 è multiplo di 4 secondo ...................

4* ENGLISH

Underline the multiples of 7.

2 12 14 18 21 27 28 33 39 42 53 63 70

Elenca almeno sette multipli, maggiori di zero, dei seguenti numeri.

5*

3 5 9 12 22

6*

7 8 6 15 20

7*

4 11 13 25 33

8*

23 18 75 150 250

Scrivi i divisori dei seguenti numeri.

9*

4 9 16 22

10*

8 13 24 38

11*

6 10 49 60

12*

15 18 72 75

Rappresenta per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi dei divisori dei seguenti numeri.

13**

7 12 18

14**

9 15 20

15**

8 25 19

16**

28 14 21

17*

Sottolinea in verde i numeri divisibili per 2 e in azzurro quelli divisibili per 4.

16 18 27 30 44 49 52 62 64 69 78 86 112 117 121 124 130

Che cosa puoi osservare?

18**

Fra i seguenti numeri sottolinea in blu quelli divisibili solo per 3, in rosso quelli divisibili solo per 5 e in verde quelli divisibili sia per 3 sia per 5.

105 117 125 202 255 285 300 308 324 450 500 522 645 733

19**

Scrivi cinque numeri divisibili sia per 4 sia per 3.

.....

20**

Tra i seguenti numeri sottolinea quelli primi.

4 5 9 11 12 16 17 23 25 28 30 31 34 37 42 45 49 51 53 57

21** ENGLISH

Write all the divisors of 90 and find which of them are primes.

.....

Utilizzando il metodo che preferisci scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

22**

135 168 210 253

23**

4500 5620 7524 8316

24**

Determina, scomponendo i due numeri in fattori primi, se 1560 è divisibile per 24.

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri senza scomporli in fattori primi.

25*

M.C.D. (2, 3, 5) = .....
m.c.m. (2, 3, 5) = .....

26**

M.C.D. (2, 3, 4) = .....
m.c.m. (2, 3, 4) = .....

27**

M.C.D. (10, 15) = .....
m.c.m. (10, 15) = .....

28**

M.C.D. (7, 14, 35) = .....
m.c.m. (7, 14, 35) = .....

29** ENGLISH

Find the G.C.D. (Greatest Common Divisor) of 6, 12, 30 without using prime factorization.

30** ENGLISH

Find the l.c.m. (least common multiple) of 8, 16, 40 without using prime factorization.

31*

Calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri con il metodo della scomposizione in fattori primi.

320, 256
16, 95
170, 850

32*

Calcola il m.c.m. delle seguenti coppopuppie di numeri con il metodo della scomposizione in fattori primi.

432, 324
660, 825
108, 48

Risolvi i seguenti problemi.

33**

Il professor Marcucci deve distribuire un ugual numero di fogli da disegno a 25 alunni. Può acquistare un pacco da 70 fogli, uno da 75 e uno da 80. Quale pacco dovrà scegliere perché non avanzino fogli? Quanti fogli riceverà ogni studente?

[75; 3]

34**

28 ragazzi e 16 ragazze vogliono formare delle squadre con lo stesso numero di persone tutte dello stesso sesso. Qual è il numero massimo di componenti che ogni squadra può avere, senza che nessuno rimanga escluso?

[4]

35**

Su Internet c’è un’offerta vantaggiosa: scaricando brani musicali a gruppi di 4 si ha un forte sconto. Un gruppo di 6 amici ne approfitta ma non vuole comunque spendere tanto. Qual è il minimo numero di brani che possono scaricare in modo da poterli poi suddividere in parti uguali tra loro?

[12]